（四）电力系统稳定
先啰嗦几句别的。刚刚过去的一个星期，是悲伤和激动交织的一个星期。四川等省的地震牵动了整个中华民族的心。我作为其中的一个小小个体，也和大多数河友一样，夜夜守在网络上，看着各种来自前线的报道，为受难的同胞祈祷。同时，也为曙光初现的祖国和民族的腾飞而欢呼。
这个星期，没有时间写这个专题。花了些时间参与组织了公司内部的募捐活动。其间有个小插曲。募捐的当天，正好有一个国内的代表团来公司参观，大概是国电电力的团。他们出来有些日子了，对地震的了解并不比我们多，似乎还是从我们展出的图片上第一次感受到现场的惨烈。一般地，我对这种考察团有天然的抵触，但这一天，我对他们有一种发自内心的亲切感。他们也做得很棒，两个看上去象是带队的先生在离开的时候都捐了款。我注意到他们随身携带的美元并不多。
我的思绪总是被这些和地震有关的事情打断。不过，既然开了电力系统漫谈这个系列，总是要写下去。另外，一个小小的无功功率话题，让我试出了西西河在电力系统这个旁支末节的水域一样深不可测；大概是因为我们有世界驰名的铁手牌挖掘机的缘故吧。看来，任务比我想象的更艰巨。幸好，从最开始我就告诫自己虽然是漫谈但不能瞎白话，认真写下去，就会有收获。
在经济运行和系统稳定之间犹豫了好久，还是决定先写系统稳定这一块。这也是受了地震的影响。灾难发生的时候，我们更深刻的体会到为什么是“稳定压倒一切”。这次地震后的抢险救灾开展的如此迅速和成功，我们国家和社会的安定团结是一个重要的先决条件。没有了社会的稳定，不用说救灾，正常的生活都无法保证，经济更是无法发展。一个社会如此，电力系统也是这样。不管电力市场改革如何进行，也不管有多少新的利益悠关者进入这个系统，不管他们之间的利益分歧有多大，电力系统稳定永远都是系统内各个实体（包括终端用户）的共同利益。
这也是为什么各个大的互联电网总要有一个最高权力机构负责系统的稳定性，这个机构可能是政府的组成部分或国家的公司（例如我国以前的电力部和现在的国网公司和南方电网），也可能是政府授权的代理机构。在北美，因为加拿大、美国和墨西哥北部联网运行，所以这个机构的名字叫北美电力可靠性合作组织（NERC -- North American Electric Reliability Corporation）。现在国内搞全国联网，不知道当南方电网和国网的系统联网运行以后，是否也要成立这样一个机构来协调两个电网的运行。
电力系统稳定是一个非常宽泛也非常含混的概念。在工程实践中，不同的电网、不同的公司、甚至不同的工程师都有各自的理解和各自的定义。鸡同鸭讲的事情时有发生。各个国际标准化组织和各电网管理机构都试图给出统一明确的定义，但始终无法对抗来自运行第一线的传统。可能有人已经注意到了，上文中NERC的名字里用的是可靠性 （Reliability）而不是稳定性（Stability）。从字面上看，可靠性是比稳定性更广的一个概念。NERC这么用是没有问题的。若干年前，IEEE（国际电气电子工程师协会）也曾经建议统一使用可靠性来取代稳定性。但问题是可靠性这个词在工程上有一个特殊的含义，就是用统计方法来分析系统运行和停运的概率。所以这个建议至今还没有被广泛地采纳。特别是在学术界，完全是泾渭分明。反倒是在工程界，在一些报告中，有时会用可靠性来代替稳定性。但是，需要注意的是，很多时候，如果可靠性这个词是单独使用的，那么往往是只基于确定性分析的稳定性。如果需要表示其本来的统计意义上的可靠性，一般还要加上“统计”（Stochastic或Probabilistic）这个限定词。
因为后面还要专门讲统计意义上的电力系统可靠性（写到此处，手心冒汗：概率和随机过程从来就没有学明白过），所以这里继续使用稳定性（Stability）一词。一般来说，电力系统稳定性是指电力系统应具备的一种能力，以保证系统在非故障（disturbance）情况下能在一个较优的运行点上的维持功率平衡；在故障情况下尽可能地保证系统的完整性，使系统能在一个还可以接受的运行点上继续运行，而不至于出现系统大范围的停电或非控制的系统解裂。
写到这里，需要解释一下。在后面遇到一些术语时，我可能会经常把中英文并列。主要原因是我到美国以后才深入接触电力系统稳定性，很多中文名字都是根据自己的理解直接翻译过去的，可能不是太准确。
历史上，电力系统稳定性可以分为广义的和狭义的稳定性。广义的电力系统稳定性包括了电力系统静态安全（static security）和动态稳定（dynamic stability）。狭义的电力系统稳定则特指动态稳定。为什么说是“历史上”呢？一方面，主要是因为现在的电力系统稳定性基本上是特指动态稳定；另一方面，IEEE和国际大电网会仪(CIGRE)已经建议停止使用“动态稳定”这个词，这个建议已经逐渐为学术和工程界接受。
分析不同类型的系统稳定性要采用不同的衡量指标和相应的分析方法。电力系统静态安全所用的指标是系统各元件的静态极限（一般是热极限，所以也叫热稳定）。所采用的方法是电力调度自动化系统中的故障分析（Contingency Analysis）。简单地说就是对所有可能的开断故障进行扫描，看在故障情况下是否有流经系统元件的电流或功率超出其极限的情况。现在的调度自动化系统中，基本上都是直接使用电力系统潮流计算进行故障扫描。
早期，因为计算机能力的限制，无法快速计算大系统的潮流，所以有很多研究人员开发了各种快速扫描方法。这些方法主要通过简化和近似计算，例如把非线性的系统简化为线性系统，来加快计算速度。虽然现在调度自动化系统已经不再使用这些简化计算，但调度员和很多传统的运行方式工程师还很喜欢这些简单明了的方法。而且，在很多情况下，这些简化计算也具有很高的精度。
静态安全分析实际上用到了一个假设。就是假设系统在发生元件的开断故障后能够自我恢复到一个（动态稳定意义上的）稳定运行点。在大系统中，这个假设大多数情况下是成立的。静态安全分析的主要难点在快速计算。在计算机高度发展的今天，静态安全分析作为一个研究方向已经失去了意义。但在电力系统实际运行中，它却是最最常见的问题，是调度员和运行方式工程师时刻都要面对的。
在实时运行中，关注静态安全的意义，一方面是保护设备，另一方面，也是更重要的，是避免发生一个设备超出热稳定极限导致连锁反应的情况。比如说，一条线路因为过载被自动保护装置切除，可能会导致另外一条并联线路也过载并被切除，然后导致更多的线路过载，如此以往，最终导致系统无法维持动态稳定。
套用一句老话来总结一下静态安全和动态稳定的关系。电力系统是个动态的系统，静态是相对的，动态是绝对的。所以，对电力系统静态安全的讨论就先告一段落，后面的讨论将集中到动态稳定上，并将直接使用电力系统稳定来代替动态稳定。
电力系统（动态）稳定性又有很多种不同的分类。从其主导因素来分，可以分为：
1、 暂态稳定---主要是研究由于瞬间的功率不平衡引起的发电机群之间的角度失稳问题。这里的角度是发电机转子（发电机的转动部分）的电气角度。
2、 小干扰稳定---也叫小信号稳定。主要研究由于系统结构不合理（或不够强）导致对于小干扰引起的振荡缺少足够的阻尼，可能导致系统渐进失稳的问题。
3、 电压稳定---主要研究由于系统电压过低或无功不足导致的系统无法维持在稳定运行点的问题。
前两类主要是在系统状态空间上进行分析（发电机转子的电气角度是一个状态量），分析的基础是系统的代数-微分方程、李雅普诺夫能量函数和现代控制理论。电压稳定则有些类似于前面讲过的静态稳定，主要分析方法基于电力系统潮流计算，不过分析将扩展到潮流的多解性（PV曲线）和无功安全边际（QV曲线）等问题。实际上，还有一类稳定问题，被广泛称做暂态电压稳定。主要表现为在大的扰动后，系统电压由于无功支持不够而难以迅速恢复，从而导致系统失去稳定。相对的，前面讲的暂态稳定也被叫做暂态功角稳定。两者互相影响，你中有我，所以将放在一起讨论。
如果你坚持看到这里，大概你已经知道，电力系统稳定性这部分内容将是十分枯燥乏味的，而且会有互相交织，可能一个话题没谈完又扯出另外一个。而我自己，也深深地怀念起当潜水员的幸福时光。在河里只看不写的日子是多么的美好啊！有诗为证：
西西之水清兮，我多想尽情在这里游（潜水），
西西之水浊兮，我拔出萝卜带起了泥（挖坑）。
怎么讲电力系统稳定问题，是个问题。
一种方法是从最简单的系统模型（单机无穷大母线系统）讲起，逐渐过渡到复杂系统。一开始很容易明白，但很多人（包括当年的我）基本就迷失在这个过渡的过程中。另一种方法是从稳定性和控制论的理论开始讲。结果是什么呢？上过线性系统和非线性系统课的人大概都知道，肯定大多数人直接晕了。而且，如果讲控制理论，与其我讲，不如让晨枫兄或者润树兄来讲为好。
在和一个在某电力公司工作的美国小伙儿聊天之后，我得到了些启发。这个小伙儿本科毕业，曾经搞过些交通信号灯控制。现在改做电力系统分析了，包括静态安全和稳定分析。我学了这么多年，也就是略知皮毛。人家是怎么做稳定分析的呢？于是，我们针对他工作的电力系统的一些稳定问题进行了深入广泛的讨论。讨论完了，我发现对于生产第一线的电力工程师来说，电力系统稳定并不难！虽然道理可能很复杂，但在生产中，他靠几张图，就解决问题了。当然，他也挺有收获的，因为我给他画了另外几张图，告诉他，他那几张图被背后的道理大概是这个样子的。
既然人家能通过几张图把电力系统稳定弄个大概明白，我不如在这里借用一下这个方法，也许效果不错，不至于让耐心看这个帖子的人太辛苦。只不过，涉及实际系统的图被我换成了一些概念化的图。
但是，不论怎样力求简短，电力系统的数学描述总是饶不开。为了避免以后的麻烦，还是先介绍一下，点到为止。可以这样来理解电力系统：一个交流电路，加上若干个动力系统，再加上若干控制系统。交流电路包括输电网络和发电机、电动机等设备的等值电路，满足电磁场方程、基尔霍夫定律和欧姆定律，可以用微分方程和代数方程表示。动力系统主要包括发电机和其它旋转设备，满足牛顿定律，可以用微分方程表示。控制系统包括各种发电机控制设备，如励磁机、调速器等，可以用一系列微分方程描述。这样一来，电力系统就可以用下面的微分-代数方程组来描述：
上面的是微分方程，下面的是代数方程。这个代数方程实际上就是前面曾提到的潮流计算方程，是从基尔霍夫定律和欧姆定律导出来的。要准确描述一个电力系统的动态特性 ，需要有很多个微分方程，比如发电机的电磁场方程和其它控制设备的微分方程。这些微分方程中，最重要的是两个关于发电机转动的动力方程：
其中N是发电机个数，θ是发电机转子的相对于某参考轴的角度，ω是角速度。第一个方程表示角速度是角度对时间的导数，是大家都熟悉的基本运动方程。对于第二个方程，请先回忆一下牛顿第二定律：力等于质量乘以加速度。M是可以想象为发电机转动部分的质量，乘以角加速度（角速度对时间的导数），等于作用在发电机转子上的力。这个力在这里是机械功率减去电气功率。其中机械功率是由原动机作用在发电机上的，相当于驱动力，电气功率是发电机送往电网的，对发电机的转动来说是阻力。这两个微分方程定义了发电机的基本运动特性。在正常运行时，机械功率和电气功率相等，发电机转速不变（系统频率，60Hz或50Hz）。当系统中发生一个扰动，改变了发电机机械功率和电气功率的平衡时，发电机的转速就会发生变化。因为各个发电机受扰动的影响不一样，速度的变化也不一样。这样，发电机在扰动和控制设备调控的共同作用下，就会发生相互振荡。
最基本的电力系统稳定性分析方法就是对上述微分-代数方程组在时间轴上积分，也叫时域仿真。现在已经有很多成熟的软件包可以完成这个任务。其输出就是沿时间轴变化的角度、角速度等变量，还有其它的电压、电流等电气量。可以把这些输出画成曲线，系统稳定与否就一目了然了。比如说，下面这个图就是一个时域仿真得到的发电机转子角度的曲线。其中三个发电机的角度迅速增大，表明系统失去了稳定。
图1 失去稳定的系统`-- 发电机转子角度
对应的发电机电压的仿真结果是这样的：
图2 失去稳定的系统`-- 发电机电压
实际上，这个系统在扰动后的第一个振荡周期内就失去了稳定，在第一张图里，可以看到那三个发电机的角度曲线一飞冲天，仿佛是飞船脱离了地球，再也没有回到我们的视野里面来。这也叫一摆失稳。对这个例子，在第一摆之后的电压仿真结果已经没有实际意义，只需要看最前面的几格。我们可以看到，发电机电压有显著下降，大概从扰动前的接近1.0降到0.6左右。
这就是从事电力系统稳定分析的工程师看到的最直观的系统失稳。问题是，一个大系统，几千个发电机，我们需要观察哪些发电机的角度或电压呢？这就需要知道系统的结构和我们所仿真的扰动的位置。下面是一个高度简化的电力系统图，用来表示从远方发电厂向负荷中心送电的情况。现实中，可以找到很多这样的系统。比如，从内蒙古煤田的坑口电厂向华北地区送电。在负荷中心，也会有很多发电机，但图中并没有表示出来。
图3 电力系统
假设在发电厂出口附近的线路上发生对地短路故障，电压瞬间降到接近于零，考虑到输出功率等于电压和电流的乘积，那么发电机的输出功率也跟着突然降低。但是，发电机的输入机械功率在故障发生后并不会立刻变化。回到前面那个牛顿第二定律的微分方程：
右边项的值在故障前是0，故障后就不是0了，于是发电机开始加速。与此同时，负荷中心的发电机并不会加速，反而可能会减速。这是由于远方发电厂的输出功率减少，这些负荷侧发电机需要增加输出功率以满足系统功率平衡。这样，输电线路两侧的发电机的转子角度差就会越来越大。现在，我们知道，如果仿真这样一个故障，需要看的仿真结果是发电侧的发电机角度。但由于角度是个相对值，所以实际上是看发电侧的角度和负荷侧某参考角度的差。
图1显示的系统遭受了一个非常大的扰动，导致一些发电机的角度一下子增加了很多，回不来了。在稳定性理论中，我们说这是超出了系统的稳定域。这是后话，暂且按下不表。那么，如果扰动不是那么大，会是什么结果呢？看下图。
图4 稳定的系统—发电机转子角度
图5 稳定的系统—发电机电压
从图4看到，当加在发电机上的力不那么大时（实际上，还有个作用时间的因素），在电力系统自己的不懈努力下，这些发电机还是能迷途知返的。图5中的电压表现也不错。一切都归于平静，在10秒钟之后。
因为图比较多，这一部分如果放在一篇里会显得太长，想想还是分成两部分。用下面这张图先抗一下。这是一个系统仿真结果的前半部分，猜一猜这个系统的命运如何呢？
图6 系统振荡
如果只看前70秒的仿真结果，图7中的系统正经历一个增幅振荡，似乎将失去稳定。但对于这样一个复杂的系统，仿真完整的时域仿真结果显示这个振荡过程最终逐渐衰减，系统得以恢复正常运行。
图7 系统振荡
这个仿真结果出自于一篇非常好的讨论美国西部电网稳定性的论文，里面揭示了很多有趣的电力系统小干扰稳定现象。美国西部电网是一个很典型的长距离输电系统，特别是在丰水季节，哥伦比亚河的水电从华盛顿和俄勒冈两州通过3条500kV交流线路和一条500kV直流线路送往加州。与这个小扰动振荡现象相反的，一个电力系统也可能先是经历一个减幅振荡，然后突然开始增幅振荡，进而失去稳定。我曾经看到过这样的仿真结果，可惜现在找不到了。当然，更多的小扰动振荡是一直持续地增幅振荡直到失去稳定，或一直持续地减幅振荡最终恢复到一个稳定运行点。
前面的例子包括了基本的电力系统稳定和不稳定的现象。有了这些感性认识之后，通过对各种电力系统故障反复进行时域仿真，即使没有很多电力系统背景的人也可以进行电力系统稳定分析了。但是不是就此万事大吉了呢？还不行。我们只是从这些图中看到了现象，还需知道本质，才能进行正确的规划和运行。鉴于电力系统的复杂性，如果不能很好地把握本质，很可能背道而驰。
比如说，上文中图1的暂态失稳是由什么引起的呢？我当时给出的解释是发电机机械功率和电气功率的不平衡使发电机加速，导致相对角度增加，超出了稳定域。但如果看图2的电压曲线，有电力系统运行经验的人会说，电压都这么低了，怎么可能稳定？这就涉及到一个争论已久的话题，是暂态角度失稳还是暂态电压失稳？虽然结果差不多，都表现为输电线路两侧角度差过大失去稳定，但解决办法却有很大不同。这和医生看病一样，得对症下药。
先抛开背后的理论不说，对于暂态角度失稳的系统，一个电网规划工程师首先应该做的是尽量缩短发电到负荷的电气距离，这个电气距离可以近似地用线路上的阻抗表示。有点类似于一个悬臂梁系统，其它条件不变的前提下，臂长越短，悬臂越稳固。如果做不到这一点，就必须要限制在线路上输送的功率了。这相当于减少在悬臂的末端悬挂的重量。
暂态电压失稳的主导因素是系统中某些点（特别是在输电路径中间的某点）的大幅度电压下降，并无法迅速恢复。同时，其两侧系统电压的幅值也跟着降低，并且相位角被迫增加，以保证满足基尔霍夫定律。结果导致两侧发电机的转子角度差拉大，系统难以保持稳定。往往，这些电压下降并难以恢复的节点附近都有较大的电动机负荷，在电压下降时会从电网吸收更多的无功功率，从而使电压进一步下降（雪上加霜型的）。另一种情况是，在一些节点有无功补偿设备，其向电网注入无功功率和电压的平方成正比；在电压下降的情况下，其无功输出跟着减少，失去了无功补偿的作用（关键时刻掉链子型的）。解决暂态电压失稳，需要寻找更好的无功功率支持和补偿方式。对电压失稳，限制有功功率的传输也是有用的。这样一来，负荷就必须从其它地方得到有功功率，同时也改变的系统电压和无功功率的分布，有可能提供更好的无功功率支持。
图8 系统电压和角度的关系
电力系统失去稳定通常都是在很短的时间内就失去稳定，特别是前面看到的一摆失稳，几乎就是一瞬间，人为地控制调整几乎是不可能的。另外，由于系统中大量存在的设备保护装置（继电保护）和系统保护程序（Remedial Action Schemes或System Protection Schemes或Special Protection Schemes），在系统失去稳定或振荡的过程中，往往会令人目不暇接地发生一系列事件。发电机、线路和负荷都可能被各自的保护装置或保护程序从系统中自动隔离。这些动作，有的对维持系统稳定有帮助，有的则会使局势更加严峻。这时候，各种保护的配合是非常重要的。设计的时候当然会考虑这些配合问题，但一旦发生故障，那真是计划没有变化快。
所以，电力系统运行工程师更喜欢采用的办法是防患于未然，限制有潜在稳定问题的输电线路上的功率传输。为了得到这个输送功率的限值，需要对各种不同情况进行大量的时域仿真计算。这又和前面提到的静态安全分析很相似了，只不过那里是反复的潮流计算，这里是计算量更大的时域仿真。一个简单的对比，在一台计算机上，对于一个10000个节点，6000个发电机的系统，一次潮流计算需要的时间大概不到1秒；作一个工业界常用的20秒时域仿真，可能需要1到2分钟左右。计算之后，还需要根据运行导则对数据进行分析处理。这方面，潮流计算的结果处理几乎不花时间，但对20秒仿真的结果，因为数据量非常大，可能需要5到10分钟的处理时间。很多搞稳定分析的工程师就是这样，年复一年地，对系统反复地仿真，积累了极其宝贵的系统经验。而这些都是时间堆积起来的，可以说每个老工程师的头脑都是一个宝库，是书本知识无法代替的。
时域仿真为电力系统安全运行作出了巨大的贡献，迄今为止，仍然是电力工程师唯一信得过的方法。但是，其不足之处也是很明显的。计算时间问题可以用分布计算等方法来弥补，但还有2个更重要的问题就不那么容易了。一个是时域仿真没有办法提供系统到底有多稳定或多不稳定的定量信息。比如说，两个不同的故障，看仿真结果，某台发电机的角度分别达到了80度和120度，但不能说前者比后者更稳定。好比是捐款，乞丐老人捐了100元，那是他的全部，我捐了2000元，但可能只占我个人资产的10分之一（我也够穷的）。虽然我捐的钱多，但在老人面前我就很心虚。对系统稳定性，就是一个系统的稳定域的问题。这个域有多大，是系统稳定分析的关键问题。
时域仿真的另外一个问题是不能给出系统的可控性指标。出了问题，不知道哪里是解决问题的关键。为了找到这些关键，只能反复地做仿真，极大地增加了工作量。所以，在应用时域仿真的同时，电力系统的工程师和研究人员也在进行着另外的探索。其目标就是实现电力系统稳定和控制的定量分析。这些探索的过程基本上就是控制理论和电力系统结合的过程。在系统层面上，主要是针对暂态稳定的李雅普诺夫能量函数法和稳定域，以及针对小干扰稳定的特征根分析和可控可观性分析。在设备层面上，现在普遍应用的各种发电机控制设备，如AVR（自动电压调节器）、PSS（电力系统稳定器）等都得益于控制论的应用。相对来说，在设备层面上的应用成果远大于系统层面。
写到这里，不由得说些题外话。在经历了上个世纪末的高科技浪潮之后，大学里的电力系统教育特别是研究生教育陷入了困境。一方面，学校和教授没有资金，很多学校干脆砍掉了电力系统专业；另一方面，学生也不愿意学。10年积累下来的结果就是电力公司招不到足够的电力系统专业的学生。现在美国电力公司里那些40岁以下的美国工程师，专业可以说是五花八门。有学电子的或学控制的，有学土木工程的，我还见过有学厨师的。很大程度上，可以说，美国电力系统已经无法招到优秀的本土学生了。因为美国工作许可的限制，大多数电力公司又很难直接招收外国人，所以实际上美国电力系统的运行水平和新技术的应用水平与工程师水平一道在呈下降趋势。
相反，在其它国家，特别是中国，电力系统一直保持着其固有的吸引力，多年来人材和资金的投入都在很高的水平。中国的电力系统不仅运行水平高，近年来新技术的应用也开始逐渐领先。很多美国的研究人员、教授甚至企业都感到有必要和中国高校和电力企业进行合作。这是一个很令人鼓舞的现象。美中不足的是，在基础理论研究和技术创新方面，我们做得还不是太好，需要慢慢补上。这又和我国整体经济发展态势相吻合，都是一种跨越式的发展，在有限的时间和条件下，先发展起来再说，基础可能不是太牢固，但只要能有机会，我们会回来把基础夯实的。
在最开始曾介绍过，电力系统稳定性理论的研究从60年代末真正开始起步，经历波澜壮阔的30年，到上个世纪末突然陷入了困境。实际上，当时很多理论成果已经开始被应用于实际系统，也曾有过很好的表现。一些人已经开始了实时电力系统稳定校正性控制的研究，其终极目标是把电力系统建设成为一个具有自我监视、自我诊断、自我保护能力，甚至一定程度上可以自我恢复的系统。但电力系统的复杂性这个巨大的阴影，一直笼罩在研究人员和工程师心头。很多现场应用都是针对特定系统，甚至针对特定的系统状态。这不仅导致了应用成本非常高昂，而且因为分析过程依赖于太多的简化和假设，结果本身的可靠性也值得怀疑。终于，由于理论分析的成果不能在生产实际中进一步推广应用，使来自企业界的资金支持骤然减少。再加上电力市场改革吸引了绝大多数的注意力和经费，最终导致了电力系统稳定性研究几乎陷于停顿。理论与现实之间的差距，让众多为理论研究献身的研究者们黯然神伤。
但30年的理论研究对电力系统稳定运行的贡献还是巨大的。最主要的是，虽然在系统级的应用不成功，但稳定性理论研究促进了新型电力系统控制设备的使用，包括有功功率、无功功率潮流控制和发电机控制。这些设备如今被广泛地安装在各个电力系统中，对提高系统稳定性和系统输电容量起到了重要作用。另外，受过稳定性理论熏陶的电力工程师们在做系统分析时，有了更多的全局观念，能做到有的放矢，既提高了结果的有效性，也减少了盲人摸象式的时域仿真工作量。
电力系统稳定性理论的研究陷入低潮，但已有的理论成果并没有消失，也还有人继续努力。随着技术进步和基础理论（比如数学和控制论）的发展，也许有一天电力系统稳定性的研究会有突破。我自己算是知难而退了，但也会偶尔因为工作需要，翻一翻过去的笔记和参考书。每次，我都会在5分钟内产生头疼症状，然后开始昏昏欲睡。不过，我不得不承认，这些理论成果和很多其它学科的理论一样，虽然过程异常繁琐，但结果却能展现出来一种简洁之美。
电力系统是一个非线性的动力系统，并且可以进一步认为其结构参数是不随时间变化的。当系统中发生一个扰动后，如果假定在该扰动被消除后，系统的其它输入在暂态过程中保持不变，也没有其它事件发生，那么可以认为故障后的电力系统是一个自治系统（没有输入的系统）。自治动力系统在暂态过程中内部能量守恒。如果把动力系统的能量表示成动能和势能之和，那么自治系统的能量将在动能和势能之间进行转换。
说理论之简洁，如此复杂的电力系统暂态稳定，可以用一个在坑中小球的运动形象地表示出来，而且，竟然也可以从电力系统模型中推出几乎完全一样的公式。
这大概是一个初中物理的例子。先挖个坑，深度为h，再假设坑的内表面光滑无摩擦。然后，把一个质量为m的小球放在坑底。此时小球是静止的，动能Vk=0。小球相对于地面的势能是Vp=-m*g*h。势能也就是重力乘以做功的距离。现在，在坑底推小球一下，给它一个初速度v，也就是给它一个动能Vk=0.5*m*v^2，让它向上运动。当条件 0.5*m*v^2 > m*g*h 满足时，小球就会滚到坑外去，否则，就一直在坑里面呆着。如果考虑到坑内表面的阻力，只要小球不出去，最终会回到坑底。
图1 坑中的小球
用稳定性的语言来说，坑底对小球来说是个稳定的平衡点，坑就是它的稳定域，坑的边缘是稳定域边界，出去了就回不来了。
相应地，电力系统的正常运行状态是它的稳定平衡点。当电力系统受到扰动，如短路或切除大的线路或发电机等，会有暂态能量被注入到系统，相当于给了小球一个向上的动能。如果这个注入的动能被系统本身所吸收，系统是稳定的，反之系统将失去稳定。系统吸收注入动能的能力可以被理解为系统的势能。系统稳定与否，取决于注入的动能和系统稳定平衡点到稳定域边界之间的势能的差（类似于小球在坑沿和坑底的势能差）。
那个小球的能量是在我们熟悉的空间里计算的，其空间的度量是高度（或者距离），小球的速度是距离对时间的导数。电力系统稳定是在一个什么空间里呢？还得回到前面介绍过的 电力系统微分方程：
和小球-坑系统相比，电力系统的稳定性是被放在以发电机转子角度为度量的空间里来研究的。假如一个电力系统里只有一台发电机，也就是N=1，电力系统的动能和势能可以定义为：
可以看到，电力系统的动能和小球的动能有完全一样的表达式，只是把速度换成了角速度。势能其实也是一样的，力在一定的距离上做的功，只不过此时的力是机械功率和电气功率的差，而且这个力是随着发电机角度的变化而变化。这也就是电力系统暂态稳定分析的基本公式，李雅普诺夫函数。因为具有能量的表达式，所以又叫能量函数。如果扰动注入到电力系统的动能大于系统自身具有的势能，系统将失去稳定。有了这个基本判据，剩下的工作就是如何计算机械功率和电气功率的差，以及如何找到稳定域的边界。
以前讨论过时域仿真是一个很耗时间的工作，往往需要仿真10秒甚至20秒才能判断系统是不是稳定，虽然系统失去稳定只需不到一秒。能量函数理论的意义在于，如果能通过某种方法找到稳定边界，我们可以在检测到系统轨迹越过稳定边界时就停止仿真而直接宣布系统失去稳定。另外，如果能定量或者解析地表示出系统的势能，可以在此基础上做进一步的分析，比如灵敏度分析等，有助于实现一些系统稳定控制。
理论已经把方向指明了，剩下的事就是八仙过海，各显神通，去寻找这个稳定边界。谁料，三十年弹指一挥间，稳定边界难过蓬莱山。
难在哪里呢？稳定边界本身对能量计算并不是最重要的，我们需要知道的是决定边界的那个点：不稳定平衡点。系统稳定运行点和不稳定平衡点之间的势能差，就相当于小球从坑底到坑沿的势能差，对系统稳定有决定意义。什么是不稳定平衡点，当成功地把削尖的铅笔，尖的一头朝下立在桌子上时，恭喜你，你得到了一个不稳定平衡点。突然一只蚊子从旁边飞过，铅笔倒了。那就对了，不稳定嘛。电力系统的不稳定平衡点也是一样，系统实际上无法在那里运行，只是一个数学意义上的点。糟糕的是，在这个平衡点附近，电力系统方程很难求解，换句话说，就是几乎抓不到这个点。想想也是，倒立铅笔的事情哪是那么容易干的。
雀虽小，五脏俱全的道理在电力系统并不总是适用。下面这一段介绍的最简单电力系统的稳定性分析并不能自动引伸到实际系统。但是，从这个小系统里，我们大体上能得到一些对大系统稳定的直观认识。照着猫去找老虎，虽然差得远了些，但还是勉强能和熊区分开的。
对暂态稳定研究来说，最简单的系统就是如下图所示的单机无穷大母线系统。中间是两条输电线路，一边是一台发电机，另一边是永远静止的无穷大母线。这个系统有些象在楼顶上挂个小气球，不管气球怎么随风而动，楼一般没事，最多就是气球飞上天了。
图1 单机无穷大母线系统
进一步假设，无穷大母线电压是V，电压相角是0；发电机母线电压是E，相角是θ；每条线路的阻抗是X。两条线路并联，阻抗就变成了X的一半，暂且用Z表示吧。对这样一个系统，发电机送出去的有功功率是多少呢？闲话少说，直接给出公式：
前一节 提到过，计算能量函数除了需要找到不稳定平衡点，还要计算电气功率和机械功率的差。上面的公式就是单机无穷大母线系统的电气功率，是电压相角的函数。再考虑到系统稳定运行时，机械功率和电气功率相等，那么，
其中，θ0是系统稳定运行时发电机电压的相角。现在假设在其中一条线路上发生短路故障，发电机电压E瞬间减少到几乎是零（取决与故障点离发电机的距离），这时候发电机的电气输出功率也变得很小，但也可以用类似的正弦函数表示。在暂态过程中，相角会改变（想象一下，一阵风吹过，那只气球会怎么样？），但可以假设机械功率不变。如以前讨论过的一样，发电机这时候会开始加速。故障线路很快会被打开以清除故障，只剩一条线路运行，但电压回升，输出的电气功率也开始回升。因为线路的阻抗变了，发电机的电气功率此时变成了：
因为系统简单，电气功率能直接表示成是电压角度的正弦函数，我们可以把这些函数画到图上。这就是电力系统里著名的功角曲线。横轴是电压相角，纵轴是功率。水平直线是机械功率，三个曲线分别是对应不同状态时的电气功率。图中机械功率和横轴之间的两条长竖线,做左边的标识出了故障发生前的系统运行点，右边的则对应故障切除时的系统运行点。
图2 功角曲线
大家不妨试一试把斜线阴影区域和竖线阴影区域的面积写成功率对相角积分的形式，看看会得到什么？
看着很熟悉吗？这是不是我们 前面看到过的势能呢？答案是肯定的，来比较一下势能的公式就知道了：
因为故障中的电气功率计算很不准确，计算斜线阴影区域的面积是没有意义的。所幸能量守恒定律再次给我们指明了方向。还记得那个坑底的小球吗？这次我们让它从左侧滚下来。球在坑底时的动能等于它在左侧开始下滚之前的势能。
图3 滚落的小球
同样道理，在故障切除那一时刻的系统动能也正好等于斜线阴影区域对应的势能。故障切除时的系统动能前面也介绍过了：
这样，斜线阴影区域的面积等于故障给系统注入的动能，竖线阴影区域的面积则相当于小球爬上右侧斜坡后具有的势能。如果这个势能小于球在坑底时的动能，小球将离开这个安乐坑。对这个电力系统来说，如果斜线面积大于竖线面积，就不稳定了。现在，判断系统是否稳定，变成了判断两个面积哪个更大。而这个判据正好和前面介绍的能量函数法完全等价。这就是学电力系统的人都熟悉的等面积法则。斜线面积又叫加速面积，竖线面积又叫减速面积。故障后系统功角曲线和机械功率的交点，左边的是稳定平衡点，右边的是不稳定平衡点。多么和谐，多么对称的电力系统！可惜，猫是猫，虎是虎。我们谁也不会抱个老虎坐沙发上看电视，是不是？
不管怎样，从这只小猫身上，我们还是能得到一些有用的信息。除了前面讲的以外，比较重要的有三点。
第一，是对一个给定的系统结构，在稳态时，其电气传输功率有个上限。对这个简单系统来说就是电压相角为90度（正弦为1）时的功率。
第二个是，输电系统的阻抗对输电功率上限有重要影响，阻抗越小，上限越大。怎么减小阻抗？要么缩短线路长度（也叫电气距离），要么加粗线路导体或几条线并联，要么用其它办法。什么叫其它办法？比如说，高压线路的阻抗比低压线路的小；再比如说，线路自身是个大电感，我们可以串联进一个电容，正负抵消。那超导行不行？
第三个是,增加稳态时输电功率的上限,可以提高系统的暂态稳定性。比如说，把功角曲线中故障后曲线升高的话，减速面积增大，系统也更稳定。这样一来，我们知道了一个增加系统暂态稳定性的方法：减少输电路径的电气距离。一个自然的推论就是长距离输电天然地不利于系统稳定。
暂态失稳对电力系统的影响最严重，可以在极短的时间里造成系统解裂和大范围停电。在电力系统稳定分析里面，暂态失稳的分析和计算也是难度最大的。但往往越严重的事故发生的机率越小，真正让电力系统失去暂态稳定的大故障在系统中难得一见。随着系统规模越来越大，在单个发电机或发电厂发生的暂态失稳对系统的影响也越来越小。一旦专门的保护装置检测到失稳，可以迅速把发电机与系统隔离开。损失的功率可以由系统内其它发电机来平摊。与此同时，长距离输电越来越普遍，电力系统变得越来越象哑铃：两个区域通过若干条很长的输电线路联系起来。实践经验表明，这样的系统在受到微小扰动时，有可能发生两个区域之间的振荡。当振荡发生时，调度员可以看到系统电压、输电线路上的功率、发电机的输出功率等电气量围绕各自的中心线上下波动。有时候，这种波动会逐渐衰减，直到恢复正常；有时却可能越振越大，系统中的电流越来越大、电压越来越高或越低，直到保护装置把设备切除，并形成连锁反应。世界上有几次大停电就是这么造成的。
所谓的小干扰是相对于导致暂态稳定的大干扰而言，对系统冲击没有那么大。有可能是简单的线路开断，也可能是突发的发电机故障等。小干扰稳定要研究的目标主要是从系统中那么多发电机中，找出到底是谁在捣乱，以及如何有效制止。曾与一位教授聊小干扰问题。该教授在电力系统稳定性研究领域的地位堪称东邪西毒。我本想得到些武学密笈什么的，没想到，此公脱口而出：我认为电力系统工程师和研究人员还没有准备好去真正搞清楚小干扰问题。
了解该教授性格的人大概会有同样的第一反应，我当时也这样想，是您自己还没有准备好去真正搞清楚小干扰稳定问题吧！这样想，没有不尊敬的意思。一方面是因为该教授的性格圈内皆知。另一方面，主要是因为在过去30年里，几乎和暂态稳定研究同时，也有很多学者和工程师在小干扰稳定领域做了深入研究，其研究成果的实用化水平甚至超出了暂态稳定研究。
那什么是电力系统的小扰动稳定呢？一般地，是指在发生一个扰动后，系统并不直接失去暂态稳定，其时域仿真结果体现为在一个平衡点附近来回振荡。如下图所示。这是一个临界振荡的例子，可以看到几乎是个等幅振荡。这也可以用小球-坑系统来解释。当坑壁光滑无摩擦时，给小球一个初速度，只要不离开坑，小球将在坑里上上下下个不停。在实际中，这种无摩擦的情况几乎是不存在的，所以小球最终会回到坑底。实际的电力系统也有类似的摩擦，但沿用的是电路理论的概念，不叫摩擦了，叫阻尼。而且，这个阻尼可正可负。从基本电路理论可以知道，正阻尼使系统振荡幅度越来越小，最终回归到一个平衡点；负阻尼使振荡幅度越来越大，系统最终失去稳定。
电力系统小扰动失稳主要是因为在小扰动发生后，系统的拓扑结构无法提供足够的阻尼造成的。小扰动分析的一个主要结果就是计算系统振荡的阻尼。因为是小扰动，可以对由系统微分-代数方程组进行线性化，得到系统的状态空间，在此基础上应用线性系统的方法进行分析。线性系统的东西就不多讲了，挑简单的说一说。状态空间可以认为就是个代数里面的矩阵。矩阵理论也不多讲了，其核心内容之一就是计算特征根和特征向量（这个，理工科的同学都应该知道），这也是小扰动分析的第一步。因为电力系统的这个矩阵是非对称的，所以其特征根是复数，可以写成a+jb的形式。算出特征根和特征向量之后，就可以用线性系统理论进行稳定性判别了。当有虚部不为零的特征根时，系统在小扰动下会出现振荡；实部都在复平面虚轴的左侧（负数），系统是稳定的，阻尼为正，并且实部离虚轴越远，阻尼越大；如果有一个或多个特征根有正实部，系统是不稳定的，阻尼为负；如果实部为零，但虚部不为零，就是图1那个样子，等幅振荡，此时，不说阻尼为0，而是用一个新名字，叫极限环。
想想看，如果实部虚部都为0怎么办？
图1 系统振荡
好象没法办了。出现零特征根，矩阵奇异，系统在数学上已经没有解了。但在非线性系统里，什么都可能发生，别有洞天也说不定。
以上是在线性化的状态空间上的分析。众所周知，电力系统是个非线性系统。那这样的线性化分析可以吗？大多数情况下是可以给出足够好的结果的。但毕竟是非线性系统，线性化的分析结果只能是近似解，很多非线性系统的特性并不能完全在线性分析中体现出来。为了深入挖掘电力系统稳定性，特别是小干扰稳定的根本性质，各种眩目的非线性系统理论也被纷纷应用到电力系统，比如分岔理论、混沌理论等。前面那个教授的意思实际上就是在这个非线性分析领域，人们还没有准备好。这一点上，他是对的。原因嘛，还是系统太大太复杂，很多现象还没有能够有很好的解释。比如看图说稳定（续）中的那个振荡。那篇论文的作者给出的解释是系统中有两个极限环，大环套着小环。当振荡中系统某些设备状态变化时，激发了系统运行点在两个极限环间的跳变。
但在工业界，基于线性空间的特征根分析确实取得了很好的应用成绩。通过特征根分析，电力工程师可以预见到系统振荡（可观），并知道如何采取措施避免发生振荡或知道什么样的扰动更可能引起振荡（可控）。下面给个小扰动分析的案例。
大家都知道，智利这个国家细长，4,300公里长，平均175公里宽。这决定了它的电网也是一样。智利的电力工程师很早就发现他们的系统会偶尔发生振荡，特别是南部和北部地区的发电机之间的振荡。90年代，他们用西门子公司的小扰动分析软件包对系统进行了分析，得到的结果令人鼓舞。反映系统可观性的右特征根明确指出了振荡主要发生在南北两组发电机之间，这和他们的运行经验是一致的。令他们兴奋的是，反映系统可控性的左特征根还给出了另外一个亦喜亦忧的结果：系统最薄弱的环节在连接南北两个发电机群的细长输电网的中部。就是说，如果在中间发生一个扰动，会最大程度地激发系统的南北振荡。搞电网规划的工程师得动脑筋加强那个地方的电网了，因为那里是他们系统的七寸。
说到底，小扰动分析的核心是特征根计算。其难度主要在于系统规模太大。比如，一个大的互联电网，可能会有20000个节点，8000个发电机，其状态空间的维数将有可能达到十几万甚至几十万。在上个世纪80、90年代，三个研究小组分别独立地在这个领域做出了重要贡献，基本上解决了这个难题。一个是加拿大的PowerTech Lab （现为独立的软件和咨询公司，曾隶属于加拿大BC省水电公司），其关键人物是著名的Dr. Prabha Kundur和来自中国的汪磊（音）博士；一个是巴西的电力科学研究院（CEPEL）Dr. Nelson Martins领导的小组；另一个是德国西门子公司，当时的核心研究人员是同样来自中国的王小波博士。除了巴西的小组，另两个小组里起关键作用的都是我们中国人，这是很值得我们中国的电力工程师自豪的事情。
