在科学史上这样的情况很多，微分方程定性理论的诞生，就是典型事例之一。
历史上微积分的出现，为人们研究各种运动提供了犀利的数学工具。诚如恩格斯所说：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。”实际上现在微积分的运用已不限于自然过程。
用微积分描述运动，便得到微分方程。从微分方程求出的解 y=f（t）是一个函数表达式，通常表示一条平面的或空间的曲线。根据这个表达式可知道曲线的形态和各种性质，从而可以刻画出研究对象的运动规律，并可以定量地预测它的运动趋向。例如，太阳系中，行星在太阳的引力作用下所做的绕日运动（也称二体问题），就通过微分方程的解能够相当清楚地知道各个行星的运动轨道，能作出相当准确的各种预测。这些了不起的成就，既显示了牛顿力学和微积分的威力，也促使微分方程成为了数学的一个重要分支学科。
从17世纪后半叶到19世纪后半叶，二百年间，微分方程的发展始终围绕着一个中心问题——如何求微分方程的解。许多数学家致力于这一课题，对于微分方程的求解方法积累了很多具体经验，以致有的数学史书籍形容说：在18世纪，微分方程这一学科是各种类型的求解方法和技巧的汇编。
然而，数学家们陆续发现一类又一类的微分方程是难以用已有的方法求解的，或者说，只有极少量的微分方程能求得具有解析函数表达式的解，甚至可以说能具有这种解的微分方程只是凤毛麟角。比如，太阳系的三体问题解决得非常好，而三体问题，像太阳、地球和月球三者在引力作用下的相对运动等问题就长期求不出解，因而人们所关心的太阳系的稳定性问题也就得不到明确的答案。
面对微分方程求解这一难题，自牛顿起，就尝试用无穷级数来求近似的数值解。这虽然是求解的一个重要思路和方向，但是可以想像，在那没有电子计算机的时代，近似计算的工作量之繁重，实在是人们难以胜任的，所以像太阳系的稳定性这样的全局性问题，依然难以讨论和解决。
历史常常有很好的借鉴。
对于代数方程，早在古代，人们就顺利地求得了一次和二次代数方程的根式解，可是直到16世纪才找到了三次和四次代数方程的根式解。当然人们继续努力，希望仍用求根方法去解更高次的代数方程，然而却屡屡失败。直到19世纪，数学家阿贝尔证明：五次和五次以上的代数方程一般没有根式解。这样，人们终于放弃了过去一味寻找根式解的愿望和追求，转而探讨代数方程的系数和根的关系，后来曾成功地研究了实系数代数方程的实根数目问题。
将微分方程求解问题与代数方程求解问题进行类比，使一些数学家想到了可以从微分方程本身去探讨解的性质。第一个最为明确地提出这一思想，为微分方程求解问题开辟出一条新的研究途径的是法国数学家庞加莱。
庞加莱是以自己的一系列扎实的研究工作为微分方程求解问题开创出新天地的。他以《关于由微分方程所定义的曲线的研究报告》为题目，于1881、1882、1885、1886年发表了四篇内容精彩的研究论文。从他的论文题目就可以看出，他是把微分方程的解看作由微分方程本身所定义（或确定）的曲线族。这是一种崭新的认识和提法，以这种新认识为出发点，就引导出一条新的思路。与过去截然不同，不是着眼于先求出方程的解，再研究解的性质，而是在不求出解的情况下，通过直接考察微分方程的结构、系数等对解的性质做出判断。也就是着力从微分方程本身去分析和推断它的解可能具有的种种特性，如曲线的形状、结构、特点、趋势以及是否具有周期性、稳定性等等。庞加莱把微分方程求解这一老大难问题转换为研究由微分方程所定义的曲线的性质这样一个新课题，从而打破了僵局，开辟出新路。这是微分方程发展史，也是数学发展史上具有里程碑意义的一件大事。
庞加莱在1881年第一篇论文中写道：
“一个函数的完整研究包含两个部分：
定性部分，或函数所定义的曲线的几何研究；
定量部分，或函数值的数字计算。
自然地，研究一个函数，应该从定性部分开始，因此占首要地位的问题是：作出由微分方程所定义的曲线族。”
庞加莱把定性研究置于首要地位，把自己的一系列研究工作称为“微分方程定性理论”。他在四篇论文中为定性理论的研究提供了基本概念和基本方法，从而开拓出一个可以让人们继续深入研究的广阔领域。虽然庞加莱的开创性研究是初步的，经过他的同时代人和后继者们的进一步工作，使微分方程定性理论逐步走向完善，至今仍是一个吸引许多数学工作者的活跃领域。
