求索阁

   王文素，字尚彬，山西汾州人，于明朝成化年间(1465—1487年) 随父王林到河北饶阳经商，遂定居。自古晋商多儒，出身于中小商人家庭的王文素，受所处社会及家庭影响，自幼颖悟，涉猎书史，诸子百家，无不知者。尤长于算法，留心通证，以一生之精力，完成了《算学宝鉴》这一数学巨著，为后人留下了宝贵的财富。

    一、数学巨匠王文素

    数学，古代称为数，后又有数术、算数、算学、算法之称，包括常说的算术、几何、代数、三角等方面内容。我国直到1939年才确定废止算学而用数学一词。在中国历史上特别是在明代，重科举，重功名，习文尚武，独轻数学。善诗文又善数学的人不多，而专攻数学的则更是寥寥。于是数学只能是“能诗文而不猎取功名者”为之了。数学巨匠王文素则应该是这类人中之佼佼者。

   （一）献身数学，乐此不疲

    王文素对数学的重要性有深刻的认识，对“一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数”的六艺的排列颇有不同看法。他认为数学是“普天之下，公私之间，不可一日而阙者也”，“天下钱粮凭是掌，世间交易赖斯均”，对数学的重要性以充分肯定。他对当时社会上不重视数学的状况予以抨击，“上古圣贤犹且重之，况今之常人岂可以为六艺之末而忽之乎.”他赋诗曰：“若无先圣传流此，自古模糊直到今”，对研究先驱们的劳动给以高度评价。他认为数学不仅重要，而且是“六艺科中算数尊”，给数学以极高的地位。

    王文素献身数学，不单是认为数学重要，也基于他对数学的热爱。他能“半间陋室寻妙理，灵台一点悟玄机”。真乃苦中求乐，乐在其中。“料此一般清意味，世间能有几人知？”的心情，颇有“子非鱼，安知鱼之乐”的滋味。由此足可以看出他在数学的海洋中遨游已到了乐此不疲之境界。基于他对数学重要性的认识及热爱，才使他投身数学研究，手不释卷，30多年，完成数学巨著《算学宝鉴》。

   （二）正本清源，历尽艰辛

    世界上最怕认真二字，数学研究更容不得丝毫马虎。王文素最可贵之处，亦即他能取得如此大的成绩，也正由于他的认真。

    王文素“长于算法”，“颇谙乘除之路，尝取诸家算书读之”，他不只是读读而已，而是“留心通证”。其认真实干加苦干的精神，实当赞许。他在钻研前人和同时代的数学书籍中发现，“其间辞失旨者有之，问答不合者有之，歌诀包束不尽，定数不明，舍本逐末，弃源攻流，乘机就巧，法理不通”等诸多问题，而且“又兼版简模糊，誊书桀误”等原因，使“学者莫可适从”。加上“愚者不能分别，智者弗与办理，理者不肯尽心”的社会状况使数学废弛。对与他同时代的杜文高、夏源泽、金来朋等数学名家，虽有志于数学但“才论数题，即有二病”，于是王文素果断地下了结论，虽是名家，也不足称道。由此也可看出其认真精神。王文素对数学研究矢志不移，用30多年时间“历将诸籍所载题术，逐一测!深探远，细论研推，其所当者述之，误者改之，繁者删之，阙者补之，乱者理之，断者续之。复增乘除图草、定位式样、开方演段、捷径成术，编为拙歌，注以俗解”。虽知“下海探珠非易得，登山采玉实难求”，但仍以“吹开毛孔寻疵病，使碎心机觅本流”的认真精神，新集通证，正本清源。于明嘉靖三年（1524年）完成了42 卷300 多诀，1200 多问和12卷诗词形式的300余问，总计1500多问、近50万字的数学巨著。

    王文素苦心钻研数学的30多年间，寓居之饶阳，历经大水、大旱、地震、蝗、疫、大风雨、大雨雹等自然灾害，人民生活穷困，历史上“大饥”的记载屡见不鲜。王文素能在“半间陋室寻妙理”，对“诸家俗算篇”进行“滞处疏通繁处剪，乱时整理阙时添”，这需要何等的毅力呀。诚如他在集算诗中所述：

    身似飘蓬近六旬，留心学算已年深。

    苦思善致精神败，久视能令眼目昏。

    铁砚磨穿三两个，毛锥乏尽几千根。

    如风扫退天边露，显出中秋月一轮。

    老先生通证古今，正本清源，历尽艰辛，虽有苦尽甘来的喜悦，更有难以付梓，不获遂愿的伤心。王文素以艰苦卓绝的劳动，以“超出人表”的水平著成《算学宝鉴》，因而得到“数算中之纯粹而精者”的

    赞誉是当之无愧的。

    （三）孜孜不倦，训蒙西城

    王文素不仅是一位数学巨匠，同时又是一位数学教育工作者。他对古算书中“数差法拙字讹刊”进行疏理通证的同时，对当时一些数学名家的“藏头露尾，露尾藏头，俱以逢巧之法而算之- 不通活变，以致后学之难悟”也绝不苟同。他以“通玄活变之术，断成诗歌、讲义”，并“注以俗解”，训蒙西城。

    1. 他在集算诗中对学算者循循善诱

    其一：“莫言算学理难明，旦夕磋磨可致通”，讲明不畏艰难、要争朝夕的学习态度。

    其二：“广聚细流成巨海，久封!土积高陵”，传播积少成多、集腋成裘的学习方法。

    其三：“肯加百倍功夫满，自晓千般法术精”，道出辛勤耕耘、收获有望的治学哲理。

    2.他对有志钻研数学者也有谆谆告诫

    其一：“其中奥理实难参，仰益高% ( 原书空一字) 钻益坚”，即愈学愈有钻头，得其要者绝非易事。

    其二：“人道算如隔张纸，我言如隔万重山”，在钻研数学的道路上，万不可浅尝辄止。“当细审”，“莫轻谈”，要达到有所发现、有所发明、有所前进，须有磨穿铁砚、踏破重山的毅力与恒心。

    他以自己深钻细研的冶学精神和通证古今的魄力，为后学者留下了宝贵的精神财富。

   ( 四) 未能付梓，几成腐尘

    42 卷又12卷的精深浩瀚的数学巨著已耗尽了王文素一生之精力，但是，要想付梓广传非一定财力是办不到的。

    王文素高叹“有意刊传财力寡，无人成就恨嗟多”。

    当时，有杜瑾，字良玉，也善数学，他承认王文素是超出人表纯粹而精者，他称：“愿捐资绣梓，以广其传”。而且得到宝朝珍的赞赏，赞之日：“余谓世人之有寸长者，惟独善而恐人知，既知，而恐人得。若王公，善用心而不吝其有，杜公，善于知人而不没其善。二公长于数算而媲美者，鲜其人乎。”按理讲，书已写成，又有捐资者，出书是没有问题了。但不知何故，书没有印成。

    10多年后，书仍没有印成。王文素在自序中只得又叹曰：“欲刻于版，奈乏工赀，不获遂愿，倘有贤公’ 仗义捐财。刻木广传，而与尚算君子共之，愚泯九泉之下亦不忘也。不而，徒为腐尘而已矣。”读之使人凄切。

    他在诗中写到：“鲁鳞直得逢尼父，楚璧须还遇卞和。良马若非遭伯乐，盐车困死告谁何。”对怀才不遇感叹不已。多么盼望一生呕心沥血所成之巨菩能有人资助，能遇贤公明主’ 能够得到社会的承认，能够付梓，广传于世，然而历史终归是历史，留给王文素的只能是遗憾，而这一遗憾470多年后才如愿以偿。

    二、数学巨著《算学宝鉴》

   《算学宝鉴》现只有手抄孤本存国家图书馆。现存手抄本并非王文素编书原件，系后人根据原件残卷或抄件重抄。

    因系重抄，残缺短少、缺篇少页情况屡有发生。如目录中将第三十七卷“开仓窖积、开金石积、开堆垛积”三条遗漏，误将第三十八卷“立方截积，牙税求原”两条编人第三十七卷。而书中又将应列为第三十九卷的“三乘以上方、三乘以上圆”写成第三十八卷，使书内有两个第三十八卷，并依此顺延，使得全书到第四十一卷便告终。让很多人误将共42卷之书当成只有41卷内容。

    又如，第二十八卷“方程入勾股”条，目录原为“2 诀10问”，然内容只存完整的1诀5问。“方求斜”条，原目录为“1诀3问”，书中无诀，只存完整的1问了。

    再如，第二十九卷中，“圭田容圆、梭田容圆、圆容方、圆套三圆”等4条，按目录载共应有4 诀8问，但书中已一字无存。以上诸条内容虽缺，但手抄本之页码连贯，证明该手抄本未曾残缺，只能是原底本内容短缺或抄写时缺漏。从抄写情况看，显然是认真的有心人为之，由此推之，原底本内容短缺的可能性极大。

   虽然《算学宝鉴》抄本有些短损，但绝大部分还是较完整地保存下来了，残短的极少部分基本不影响全书质量。这只能算是万幸中的一点缺憾罢了。

    整个抄本笔迹不一，系几个人分本或分卷抄写后整理成书的。他们虽未能“刻木广传”，但也应尊之为“仗义的贤公”。可以这样认为，正是这些无名英雄的劳动，才得以为我们留下了这部近!" 万字图草详明、算法荟萃、博大精深的数学巨著。

   （一）《算学宝鉴》的主要内容

   《算学宝鉴》主要内容整理如下：

    1.算学宝鉴序

    系明正德八年（1513 年），岁次癸酉，仲春之吉，武邑痒生宝朝珍序。

    为本书作序的只是武邑县学的一名秀才，当时社会对数学的重视程度，由此可见一斑。

    2.自序

    系明嘉靖三年（1524年） ，岁次甲申，秋八月，癸巳朔，汾阳王文素述于饶川西城之馆。巨著已成，但自序中自谦之辞颇多，足见其治学之严谨。30多年之艰辛，

    未能付梓之吁叹也尽在序中道出，使人读之凄然。

    3.集算诗八首

    集算诗八首，有写实、有抒怀、有言理，是了解王文素的一份难得的史料。诗中，抒情言志，言简意赅，一吐为快；循循善诱，谆谆告诫，和风细雨；哲理深邃，切中时弊，入木三分。算诗八首字字珠玑，确属中国数学史中之珍品，是王文素留给我们的又一份宝贵财富。

    4. 算学宝鉴图录

    河图洛书图

    六觚图方圆图

    度图量图

    衡图五辰图

    五音相生图律吕相生图

    洛书均数图花十六图

    求等图辐辏图

    方胜图王字图

    古珞钱图连环图

    璎珞图三同六异图

   《算学宝鉴》卷之首图0" 幅，绘制精巧，均有简单介绍，有的编成口诀。后20 图，系由简入繁的纵横图，又名幻方，图中数字填写准确，系研究数的组合的趣味题。特别是后, 图，排列组合已相当复杂，足见该书的精、深、巧，亦可知作者数学造诣之深。如连环图将128子摆16环，借为25环，要较杨辉的72子连环图（程大位系原搬杨辉图）复杂得多。

    5.《算学宝鉴》提要

    子：指乘除之道路，定数目之洪纤。

    丑：法逢巧数须捷径，题遇归除就变因。

    寅：畎亩良方拽古典，田畴捷径立新题。

    卯：贵贱易交凭粟米、公私科派用衰分。

    辰：诸田截积分母子，少广开方取阔长。

    已：方圆台窖商功取，远近堤城众广求。

    午：均输致远近同劳，鼠尾使富贫不怨。

    未：参透支收盈肭，变通正负方程。

    中：勾股容长阔方圆，海岛望高低远近。

    酉：四家圆法求周径/ 众积开方取阔长。

    戌：长广全凭差较取，高深须用立方开。

    亥：欲穷九数其中理，须识三乘以上方。

    一般书的提要、总要，均应列书首，而《算学宝鉴》中对12 本书的提要却抄录在丑本之末，且无任何附带说明。因每本书的两句话基本上可概括其主要内容，且可根据提示直取所需本卷，为阅读、学习、研究提供了方便。故根据书中内容暂取名“《算学宝鉴》提要”列入目录之前。

    6.《算学宝鉴》目录

    为了更清楚地了解这部宏观巨著，根据原目录进行整理，原目录明显有误的根据书的内容或各本的目录进行订正，阙者补之，错者改之，发现有明显问题的加注说明。整理后目录从略。

    7.诗词

   《算学宝鉴》自序中云：“暇中又韵诗词三百余问，分十二卷，以续于后”。在目录后面有诗词上本、中本、下本共12卷目录，根据现有目录统计则不足300问。

    因书中无此内容，更无法核对，暂略不录。综前所述，《算学宝鉴》手抄本作为历史上保存基本完好的重要数学著作之一，它为后人研究中国数学提供了极其珍贵的资料。

    （二）《算学宝鉴》的主要特点

    《算学宝鉴》乃煌煌巨著，内容浩繁，主要特点有

    三：

    1.是一部典型的中国古典数学巨著

    中国数学在世界数学舞台上曾一度遥遥领先，但与古希腊数学以定性研究为主，以空间形式的研究为中心不同，中国古典数学以定量研究为主，以算法研究为中心。《算学宝鉴》是以算法研究为中心的典型的中国古典数学著作。

     与古希腊数学著作通常要整理一个包括证明的演绎体系不同，中国古典数学往往以应用题解答的形式出现，将推导或证明略去，又往往是由后来的数学家作注。《算学宝鉴》沿袭了中国古典数学问题解答的形式，但加进了大量的推导和证明的过程，并订正了古算法中的无数的谬误与疏漏，这又是有别于其它算书的一个进步。书前敢冠以“通证”字样，并且名与实如此相符，实属不易。

     2. 理论密切联系实际，实用价值极高

    《算学宝鉴》中200多条，除基本定义和基础知识外，书中的问题几乎都是人们生活中的实际问题。王文素自序中，开宗明义“窃闻囊古黄帝命隶首作算数，其目有九，日方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈肭、方程、勾股。又立度量权衡之名，九九乘除之法，是乃普天之下，公私之间，不可一日而阙者也”。自序概括了全书，从全书的各条、诀、问的安排上，问题的解答上，无论是证古题，还是“新集”题，均系生活中众人可经历的，足见与生活联系之紧密。

    全书1200多问中，有关诸田求积、积物求周、开金石积、立方截积、平地望竿、收纳课税等无不与田亩、堤坝、购物、课税等等人们生活的内容密切相关，像这一类实用价值极高的实际问题几乎全能涉及到，这也算该书的一大特色吧！

    值得一提的是，明朝是我国历史上珠算应用相当普及的时期，在《算学宝鉴》成书前80 年有吴敬撰《九章算法比类大全》（后统称《九章比类》，1440年）书中虽有“起五诀，破五诀”等显然是珠算专用语的内容，亦有“不用算盘，至无差误”等语，可看出四则运算皆为珠算方法，开方尚用筹算，但全书确用筹码记录演绎过程而成书，珠算只是偶然提起。在《算学宝鉴》成书50年后则有徐心鲁《盘珠算法》（1573年）、柯尚迁《数学通轨》（1578年）年、程大位《算法统宗》（1592年）等书相继问世，算盘已明显置于各书之首，显然是典型的用珠算演算的数学著作。

    《算学宝鉴》正是处在这一中间时期，纵观全书，除偶有用筹码记录演算过程（见丑本第四卷）外，全书均为文字记录。从运算方法、口诀、置数定位等分析，确实全系珠算的基本方法。而该书既没有算盘图，也基本不用筹码记录，而大量的用文字记录演算全过程。虽然要较另两种方法记录更费时、费力，但是，这样的结果可使书中的运算过程在任何计算工具下均可运算自如，不强求运算工具，不引导也不干扰学者的运算习惯。由此可看出王文素的用心良苦，也更能体现出《算学宝鉴》极高的实用价值。

    3.是一部通俗易懂好教材

    《算学宝鉴》承九章古制，继承了中国数学书的成书文法，全书的思路基本上与《九章比类》及再早一些的数学著作相同。

     该书引用了历史上传习已久的“先贤格言”：“心灵者蒙童最晓，意闭者皓首难闻。勤勉学全书可解，不留心徒老其身。人生世不能学算，如空中日月昏昏。既知干不知其算，将精神减去一半”，也沿用了10 条“算学总诀”。这些启蒙歌诀在吴敬、程大位书中均沿用，可见流传之广。《算学宝鉴》在引用现成的歌诀的基础上，在“新立拙法，编成俚句，以晓蒙童”方面尤为出色。中国有几千年的古老文化，方块字又是中华民族文化的主要表现形式，而子曰诗云的背诵方式又是千百年来的教学习惯。要想让更多的人学会、牢记诸多算理算法，编为歌诀，注以俗解，恐怕是再好不过的了。

    书中有不少劝学的歌诀，更多的是算法歌诀。大多都能针对具体问题，具体方法，极具概括性地将要领、步骤编为歌诀。一般都是起句提出问题，承句告之方法、步骤。转句一般是要领或“如果遇到** 问题如何处理”的深究，合句一般为“清”、“明”之类问题解决之结果。2句诀较少，一般多为4句、8句也有如“西江月”之类“词作”。大部分歌诀韵律较正，朗朗上口，便于诵读，一旦熟背，即得要领，极具中国特色。

    纵观《算学宝鉴》，从认九章名、认数开篇，“认法实”、“认乘除法”等开始，直到卷尾的“约面开方”诀，计330 多诀，且几乎每诀后都有长短不同的解释。这种编书方法，可使从认字的小孩学习开始。到加减、乘除诸法，积商定位，通分约分，方程勾股，方圆周积，开方、开高次方止，所有的数学知识均融入现实生活的应用题中。是一部适用于不同年龄、不同知识层次的人学习的绝好的教材。

    值得一提的是，对简单的基础数学知识“加以俗解”还较容易，要对较高深的，诸如开高次方等也要用文字去“俗解”，可不是简单的事。从这点上看，《算学宝鉴》也不失为数学科普读物的成功之作。

    （三）《算学宝鉴》的重要贡献

    《算学宝鉴》是一部我国历史上空前的数学巨著，它代表了当时我国数学研究的最高水平，它要比在我国及在世界上流传最广、名气最大的明代数学著作《算法统宗》成书还要早70 年，遗憾的是它未能付印成书，流传不广，故在历史上起的作用相对要小得多。但其数学水平和其学术价值不低于《算法统宗》。

    《算学宝鉴》的重要贡献有三：

     1. 通证古今，正本清源

     在《算学宝鉴》中，对当时见到的数学著作及民间算法、算题，均能留心通证。特别是对当时较有名的宋杨辉的《详解九章算法》，元安止斋的《详明算法》，明夏源泽的《指明算法》，明吴敬的《九章比类》等所列题例，进行通证。在删繁续断，补缺理乱的同时，明确指出原书之谬，且指出谬之所在，此类范例贯穿《算学宝鉴》始终，多得不胜枚举。

    《算学宝鉴》在“通证古今”的同时，非常注重“新集”。全书有200 多条，330 多诀，1200 多问，如加上诗词300 多问计1500 多问，能编集出这样多的数学题，实乃前无古人的创举。

     特别应提及的是有很多题都是多个提法，多种类型，多个答案。有“古法曰”、“九章法曰”，“杨氏曰”、“详明曰”、“指明曰”、“依古法答曰”、“依密率答曰”、“依璇玑答日”等。例题也均有“补遗新题”、“比证新题”、“通证新题”等等，举不胜举，使《算学宝鉴》成了中国历史上难得的数学百科全书。

     因该书有通证古今的魄力，有“新集”的毅力，才有正本清源的结果，也因如此，才使《算学宝鉴》在数学史上有更高的成就与地位。

    2. 有所创新，有所前进

    《算学宝鉴》较明吴敬的《九章比类》要进步得多。除通证指误外，该书摒弃了吴书中很多不科学的东西。如吴书中根据病人年龄、得病时间而推断病情轻、重、难医等的“占病法”，还有根据孕妇年龄等推算生男育女“孕推男女”等不科学的算题，《算学宝鉴》一律不集。

    在圆周率的应用上，早80 年的吴书和后70 年的程书均用周三径一率。《算学宝鉴》则将古法“周三径一”，密率“周二十二径七”，徽术“周一百五十七径五十”，璇玑“周二十五径八”诸法均列出，使圆周率的应用更趋科学。

    《算学宝鉴》开首卷一即有“盘中定位数”的内容，并有歌诀：“始立盘中定数真，皆从实首起身寻。乘寻根下为法首，除寻法首上为根”。“盘中”显然是指算盘中，盘中定位数，确实是王文素“始立”。在运算口诀中，有“无一破五下还四”等口诀。显然是在上珠代表五，下珠代表一的算盘上所用的口诀。又如卷五“众九相乘”条解曰：“众九相乘，用子甚多，算盘子少，乘则不便。既乘已毕，只动一子居下，余仍如故。视之久矣，忽得此法。且云法实俱各二位者，只于实尾起一子，挪于尾后第二位即得答数⋯⋯”由此可见，王文素不但在算盘上运算，而且“视之久矣”，有所发现。在“众九相乘”的歌诀中有“算者若能知此意，科场出众敢争先”，是科场也用算盘还是一句笑谈，那就不清楚了。但王文素将他的这一发现，根据算盘上的盘式，用汾阳王郭子仪单骑见吐蕃的典故，取名为“单骑见虏”，亦可见汾阳人对汾阳事的回顾与眷恋之情。凡此等资料均可知《算学宝鉴》算题是用算盘进行运算的。亦可知在王文素时算盘在社会上、在商业及数学中已应用得相当普遍了。而《算学宝鉴》则大可说是数学巨著，小也可说是珠算教材了。

    《算学宝鉴》是现有记录中最早介绍“见一无除作九一”的撞归口诀的书，是现有记录中，最早在立体的插图画法上，采用现代轴测图法中常用的正等测图法，使三轴的轴间角两两成120度。!

    《算学宝鉴》对纵横图的研究之深更是前无古人，很多都是创新之作，演变之繁杂恐也是当时之最。《算学宝鉴》中王文素新编之题不在少数，应该说，新集题基本上取自当时的社会实践，“新集”贯之书名前更有新意，它不仅是王文素心血的结晶，而且使该书的实用价值更高了。

    《算学宝鉴》在通证的基础上，“复增乘除图草，定位式样，开方演段，捷径成术”。特别还在集算诗中提到“悬空定位无踪影，带从开方有正翻”，显然这也是王的得意之作，亦即在学术上高人一等、算法上技高一筹的写照。

     王文素发明了表算法。他利用图表形式，将解高次方程的复杂运算予以简化，这样可以将运算的每一步结果填入表内，然后进行再运算，直至得出最终结果。我们姑且将这种方法称作“王氏表算法”。这在世界数学史上也是一种创新。就是用这种表算法’ 王文素解出了象X⁹+25X⁸+235X⁷+1035X⁶+2160X⁵+1728X⁴=27993600000 这样的高次方程。也正因有了王氏表算法，才使珠算绝对有了用武之地。从王氏表算法的运算程序看，可以肯定地讲，王文素能够利用珠算运算解出9 次方程。

     王文素的数学成就是中国数学史连续性的有力证据，所谓“中国古代传统数学到明代几乎失传”的观点确实应该改变一下。即使在世界数学史上，王文素的很多成就在当时也是领先的。以上仅举几例而已。《算学宝鉴》中如此众多的创新，都是对我国数学的极大贡献。

    3. 不可多得，珍贵史料

    《算学宝鉴》系一部应用数学书。书中举例均是当时社会生活的实际需要，因此最接近现实。书中米、麦、棉、肉，马、牛、羊、鸡，绫、罗、麻、绢，人参、红花等价格资料应有尽有，船费、脚银、税种、税率等经济史料不胜枚举。我们也可以从这些资料中对当时社会进行透视、鸟瞰和研究。

    书中还有“假令秦至燕2880里”的例题。以当时翻山越岭渡河的路程，与现今西安经郑州至北京的火车线,1200公里的路程相比，差距如此之小’ 这绝非偶合。第一可说明编题利用资料之真实，亦可知当时对距离的测量已到了相当准确的程度。

    有关资料还可以列出很多，由于《算学宝鉴》通过无数应用题，对当时社会的商业、人文、地理、政治经济等进行了写真。使得该书成了不可多得的珍贵史料。《算学宝鉴》已重见天日。虽经传抄有所佚失，但它仍以近50万字的巨著让世人惊叹。其中蕴藏的价值将会让研究者折服，重放异彩的珍宝将会给挖掘者极大的回报。数学巨匠王文素也与他的数学巨著《算学宝鉴》一样，成了山西汾阳的骄傲，成了河北饶阳的骄傲，成了中华民族的骄傲。数学巨著《算学宝鉴》定会重放异彩，数学巨匠王文素也将含笑九泉了。